hi
ich wurde schon von meinem cousin vorgestellt, er hat mich auf diese knacknuss aufmerksam gemacht. den kniffligen charakter dieser aufgabe hat verblüffend tiefliegende gründe aus der zahlentheorie. ein vergleichbares problem ist die existenz von primzahlenpaaren, also zahlen mit 2 teilern die einen unterschied von 2 haben: 3;5 , 5;7 , 11;13 , usw.
aufgabe
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gesucht sind 4 zahlen
a) mit summe 7.77
b) mit produkt 7.77
c) mit höchstens zwei kommastellen
lösung
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bedinung c) eröffnet wegen seiner hässlichkeit einen praktischen einstieg. zahlen die maximal zwei kommastellen haben lassen sich als bruch ausdrücken, dessen zähler natürlich und dessen nenner 100 ist. lassen wir uns diese erkenntnis in a) und b) einsetzen:
a^) (n1/100) + (n2/100) + (n3/100) + (n4/100) = 7.77
b^) (n1/100) * (n2/100) * (n3/100) * (n4/100) = 7.77
kleine äquivalenzumformung:
a^) n1 + n2 + n3 + n4 = 777
b^) n1 * n2 * n3 * n4 = 777000000
mitlerweile dürfte mein lösungsansatz klar sein, ich habe das so geleiet dass wir das hilfsmittel "primfaktorzerlegung" benutzen können:
777000000 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 7 * 37
diese unzahl von faktoren sollen nun auf die zahlen n1-4 verteilt werden, egal wie kreativ die kombinatorik ist, b^) und somit b) ist erfüllt, c) übrigens auch, davon sind wir - meine freunde - ausgegangen.
zu a^) :
da das vier-fache der vierten wurzel aus 777000000 nur knapp weniger als 777 ist, können wir erwarten dass n1-4 etwa bei einander liegen. gegenbeispiel: gegen wir zu viele primfaktoren einer einzelen zahl ni (zb n2 = 5 * 5 * 7 * 35) würde diese alleine bereits unsere erwünschte summe 777 erreichen.
eine andere hilfsüberlegung ist folgende: die primzahl 2 ist oft vorhanden, 777 ist aber ungerade!, eine ungerade summe wird aber nur dann erreicht wenn die anzahl der ungeraden summanden selbst ungerade ist, es muss also mindestens eine zahl keien einzige 2 in ihrer primfaktorzerlegung beinhalten.
das problem vollständig - durch mathematische argumentation - lösen zu können, dürfte ausgeschlossen sein, ein programm findet aber bereits nach einem sekundenbruchteil eine lösung, weil wir gute vorarbeit leisteten:
n1 = 2 * 3 * 37 -->2.22
n2 = 2 * 5 * 5 * 7 -->3.5
n3 = 2 * 2 * 2 * 2 * 5 -->0.8
n4 = 5 * 5 * 5 -->1.25
wenn noch mehr knacknüsse vorhanden sind - immer her damit!
ich würde mich auch über aufgaben freuen mit einem etwas weniger offensichtlichen lösungsansatz
