Mathematisches problem

[vault-tec]

<Dozenten-Mode ON> ;-)

Ist der Betrag nicht sogar über die Wurzelfunktion definiert? Irgentwie so:

"Betrag von x ist das nicht negative Ergebnis von sqrt(x²)."

Dann wirds schwer eine andere Herleitung für den Betrag zu finden.

Richtig. Der Betrag einer nicht-komplexen Zahl kann (vereinfacht) als Fallabhängige Funktion definiert werden. Nämlich so:

             ( +x für alle x>0; x aus R
f(x) = |x| = {
             ( -x für alle x<=0; x aus R

(Siehe unter anderem hier)

Im Fall einer Komplexen Zahl sieht die Sache aber anders aus:

Sei z = a + i*b eine Zahl aus C und Z = a - i*b ihre komplex Konjungierte.
Dann ist
|z| = sqrt( z * Z) = sqrt((a + i*b) * (a - i*b))=sqrt(a^2 + b^2)

Dies gilt aber umgekehrt auch wiederum für reelle Zahlen, da R Teilmenge von C ist:

Wenn b=0, ist z reell und gleich ihrer komplex Konjungierten:
|z| = sqrt( z * z ) = sqrt( z^2 )

Es gibt folglich also auch eine (allgemeinere) Definition der Betragsfunktion für reelle Zahlen über die Wurzelfunktion und (indirekt) den Körper der komplexen Zahlen C; diese Definition kommt aber auch nicht ohne Fallunterscheidungen aus; diese stecken dann halt nur in der Wurzelfunktion.

@Signum-Funktion:
Es gibt eine Funktion, die einem das Vorzeichen einer rellen Zahl zurückgibt:

Wichtig zu erwähnen wäre, dass

|x|' = sgn x

gilt, dass also die Signumfunktion die erste Ableitung der Betragsfunktion darstellt.
<Dozenten-Mode OFF> ;-)

Gruß, Niko

 

[TheLightning]

Ja.. soweit waren wir auch schon.. wenn auch nicht so perfekt

Die Frage die sich jetzt stellt ist ob sich diese Fallunterscheidung ohne die Wurzel herleiten lässt.
Letztendlich benötigen wir eine Rechenoperation die uns die Signumfunktion zurückliefert ohne dabei auf Wurzel oder die Funktion selbst zurückzugreifen. Wenn wir das Vorzeichen ermitteln können können wir auch den Betrag ermitteln.

MfG Dominik

 

[vault-tec]

Ja.. soweit waren wir auch schon.. wenn auch nicht so perfekt

Die Frage die sich jetzt stellt ist ob sich diese Fallunterscheidung ohne die Wurzel herleiten lässt.
Letztendlich benötigen wir eine Rechenoperation die uns die Signumfunktion zurückliefert ohne dabei auf Wurzel oder die Funktion selbst zurückzugreifen. Wenn wir das Vorzeichen ermitteln können können wir auch den Betrag ermitteln.

MfG Dominik

Ok, ich sollte es vielleicht nochmal etwas einfacher und deutlicher ausdrücken:

Betrag  ->  Fallunterscheidung, ob + oder -
Wurzel  ->  Fallunterscheidung, ob + oder -

So ist es leider:
Wenn man negative Zahlen zulässt, kommt automatisch eine Fallunterscheidung ins Spiel. Das umgehen könnte man nur, wenn man sich auf den positiven Zahlenraum beschränkt, was aber laut Aufgabenstellung mit Bereichen und so nicht möglich ist.

Gruß, Niko

 

[TheLightning]

Damit hast du glaub ich die Frage die ich mir gestellt habe beantwortet.
Du hattest die Antwort nicht zu kompliziert gestellt sondern ich meine Frage zu undeutlich...

Die Frage war:
"Gibt es ausser Wurzel und Betrag eine weitere Möglichkeit der Fallunterscheidung für Vorzeichen."

Die Antwort scheint wohl nein zu lauten.

MfG
Dominik

 

[saschaf]

"Gibt es ausser Wurzel und Betrag eine weitere Möglichkeit der Fallunterscheidung für Vorzeichen."

Wie wärs mit:

|x| = 1/arccos(cos(1/x))

mit x>=0,4 und x<=-0,4

EDIT: Ich sehe gerade, dass die Bereichsausgrenzung von -0,4 bis 0,4 nicht stimmt. Das war ein Rechenfehler von Exel. Es müssten eigentlich alle Zahlen außer 0 gehen.

 

[vault-tec]

Also....

Soweit zwar richtig:
Möglichkeiten der Fallunterscheidung des Vorzeichens einer Zahl gibt es mannigfaltige (die Betrags- bzw. Signumfunktion ist aber wohl am einfachsten dafür zu verwenden).
Aber da der Threadersteller die erlauchten Mitglieder dieser ehrwürdigen Gemeinschaft um eine Lösung seines Problems ohne Fallunterscheidungen ersucht hat, erscheint es mir müßig, andere Formen der Fallunterscheidung zu erörtern. ;-]

Gruß, Niko

 

[TheLightning]

Das es so auch klappt hab ich mir schon gedacht letztendlich steckt da aber auch in gewisser Form die Wurzel drin durch a^2 + b^2 = c^2

Ein Gedanke ging noch in Richtung Strahlensatz, aber irgendwie kam bis jetzt noch nichts Vernünftiges bei mir raus.

Interessant wäre wirklich eine möglichkeit die sich auf die Grundrechenarten beschränkt, aber so wie es scheint ist damit wohl keine Fallunterscheidung möglich

MfG Dominik