Dreieck zeichnen

[lisali]

Danke für deine sehr ausführliche und vor allem hilfreiche Beschreibung, Cromon! Ich bin dir sehr dankbar!

Ich habe das auch jetzt gut nachvollziehen können!

Könntest du mir vielleicht noch eine Erklärung für den Kreis geben? Also, wenn es nicht zu viel verlangt ist.

Ich verstehe ja, dass es dieses Steigunsdreieck gibt und kenn auch die Formel von Pythagoras. Aber im Grunde sind es doch nur 2 Quadrate. Warum ergeben 2 Quadrate, die man miteinander addiert, einen Kreis? Weißt du was ich da für einen Hintergedanken mit der Frage im Kopf hab? Also, einfach vom logischen Verständnis her, würde ich mich echt freuen, wenn mir das einleuchten könnte, weil ich ganze Zeit nur diese 2 Quadrate vor Augen habe, wenn ich an a²+b² = c² denke...

 

[Cromon]

Dazu habe ich mal ein kleines Bild gemacht:
http://www.imagr.eu/up/4bccc2ef7cc21_circle.jpg

Vorerst mal der Fall, dass der Kreis im Mittelpunkt des Koordinatensystems ist. Was schliessen wir dann daraus? Die gelbe Linie ist nicths anderes als die y-Komponente des Punktes und die hellblaue die x-Komponente des Punktes. Nehmen wir die hellblaue Linie parallel nach unten auf die x-Achse, so bilden die braune Linie (der Radius), die gelbe Linie (die y-Komponente) und die nun auf der x-Achse liegende hellblaue Linie (die x-Komponente) ein rechtwinkliges Dreieck.

Dabei gilt dann natürlich x^2 + y^2 = r^2. Und wir haben die Gleichung für den Kreis!

Eine andere Möglichkeit daran zu gehen:
Der Radius r ist ja nichts anderes als der Abstand zwischen Mittelpunkt und Punkt auf dem Kreis. Da der Mittelpunkt der Nullpunkt ist bedeutet das der Abstand von einem Punkt auf dem Kreis zum Nullpunkt. Wie ist der Abstand zum Nullpunkt gegeben für einen Punkt (x/y)? Durch die Wurzel des Skalarprodukts mit sich selbst:
<(x/y), (x/y)> = x*x + y*y = x^2 + y^2
Daher ist der Abstand zum Nullpunkt: sqrt(x^2 + y^2), oder anders geschrieben: r = sqrt(x^2 + y^2)

Nun muss man nurnoch quadrieren und erhält r^2 = x^2 + y^2

Wenn der Kreis nicht im Ursprung liegt müssen wir etwas ausholen, hier eine Zeichnung:
http://www.imagr.eu/up/4bccc6126298f_circle.jpg

Jetzt sind die x/y Koordinaten des Punktes nicht mehr so einfach herauszufinden. Um an die hellblaue Linie zu kommen müssen wir von den x-Koordinaten zuerst m_x abziehen (die pinke Linie) und für die gelbe Linie zuerst die m_y (die graue Linie).

Wir haben also für die hellblaue Linie: (x - m_x) und für die gelbe Linie (y - m_y). Man kann wieder vorherige Gleichung anwenden, da wir wieder das rechtwiklige Dreieck haben:
(x - m_x)^2 + (y - m_y)^2 = r^2

Und wir haben die allgemeine Gleichung! (Wenn du für m_x und m_y den Punkt (0/0) einsetzt kommst du wieder auf die Lösung oben, wie erwartet