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Nur noch mal ne Frage: Wenn du die Pings ohnehin zu unterschiedlichen Zeiten ausführen willst, wozu dann einen Thread?
paint() und repaint() sind beide public Methoden und können deshalb von überall aus aufgerufen werden, sofern man den Zugriff auf die jeweilige Komponente hat. Wenn deine Komponente, die du neuzeichen willst, nicht public ist, kannst du einen public-Getter dafür implementieren.