Das Problem ist ja offensichtlich, dass bei dir der MySQL-Treiber nicht gefunden wird. D.h. du hast im Prinzip zwei Möglichkeiten:
entweder du lieferst zwei Jars aus, nämlich dein Programm und den MySQL-Treiber und legst z.B. fest, dass die beiden im selben Verzeichnis zu liegen haben, damit du den Classpath von deinem Jar richtig setzen kannst, oder du nimmst das angesprochene Fat-Jar. Fat-Jar ermöglicht dass der MySQL-Treiber in dein Jar-File mit reingepackt wird. Normalerweise geht sowas nicht, also ein Jar in einem anderen Jar-File funktioniert nicht. Um den MySQL-Treiber mit in dein Jar zu packen, müsstest du also entweder die MySQL.jar entpacken und mit in dein Projekt aufnehmen, oder halt das angesprochene Fatjar benutzen (was einfacher ist, weil der Treiber kann sich ja auch mal ändern...).