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Grundsätzlich musst du nur eine Robot-instance erstellen(Robot robot = new Robot() und darauf die Funktionen anwenden, wie z.B. mouseMove.
Das Problem ist, dass ein Applet aus Sicherheitstechnischen Gründen standardmäßig sehr beschränkte Rechte hat und ein Robot bietet nun mal einige kritische Möglichkeiten, z.B. Datenschutz-technisch(Screenshots...), deswegen wird eine SecurityException geworfen.
Um die Rechte zu bekommen musst du das Applet zertifizieren und gewisse Rechte aktivieren, wie genau das geht kannst du hier lesen.